來源：登鏈社區(qū)

零知識(shí)、簡潔、非交互式知識(shí)證明（zk-SNARKs）是一種強(qiáng)大的加密原語，允許一方，即證明者，說服另一方，即驗(yàn)證者，某個(gè)陳述是真實(shí)的，而不透露除了該陳述的有效性之外的任何其他信息。由于它們在可驗(yàn)證的私人計(jì)算、提供計(jì)算機(jī)程序執(zhí)行正確性的證明以及幫助擴(kuò)展區(qū)塊鏈方面的應(yīng)用，它們引起了廣泛關(guān)注。我們認(rèn)為 SNARKs 將對(duì)塑造我們的世界產(chǎn)生重大影響，正如我們在我們的文章^[6]中所描述的那樣。SNARKs 作為不同類型的證明系統(tǒng)的總稱，使用不同的多項(xiàng)式承諾方案（PCS）、算術(shù)化方案、交互式 Oracle 證明（IOP）或概率可檢查證明（PCP）。然而，這些基本思想和概念可以追溯到 20 世紀(jì) 80 年代中期。在比特幣和以太坊的引入后，開發(fā)工作顯著加快，這證明了它們是一個(gè)令人興奮且強(qiáng)大的用例，因?yàn)槟憧梢酝ㄟ^使用零知識(shí)證明（通常稱為此特定用例的有效性證明）來擴(kuò)展它們。SNARKs 是區(qū)塊鏈可擴(kuò)展性的重要工具。正如 Ben-Sasson 所描述的，過去幾年見證了加密證明的寒武紀(jì)爆發(fā)^[7] 。每個(gè)證明系統(tǒng)都有優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，并且在設(shè)計(jì)時(shí)考慮了某些權(quán)衡。硬件的進(jìn)步、更好的算法、新的論證和小工具導(dǎo)致了性能的提升和新系統(tǒng)的誕生。其中許多系統(tǒng)正在生產(chǎn)中使用，并且我們不斷推動(dòng)界限。我們是否會(huì)有一個(gè)適用于所有應(yīng)用的通用證明系統(tǒng)，還是適用于不同需求的幾個(gè)系統(tǒng)？我們認(rèn)為一個(gè)證明系統(tǒng)將統(tǒng)治所有應(yīng)用的可能性不大，因?yàn)椋?/p>

1. 應(yīng)用的多樣性。

2. 我們有不同的約束類型（關(guān)于內(nèi)存、驗(yàn)證時(shí)間、證明時(shí)間）。

3. 對(duì)魯棒性的需求（如果一個(gè)證明系統(tǒng)被破解，我們?nèi)匀挥衅渌到y(tǒng)）。

即使證明系統(tǒng)發(fā)生了很大變化，它們都具有一個(gè)重要特性：證明可以快速驗(yàn)證。通過具有驗(yàn)證證明并且可以輕松適應(yīng)處理新的證明系統(tǒng)的層， 也解決了與更改基礎(chǔ)層（如以太坊）相關(guān)的困難。

為了概述 SNARKs 的不同特征：

• 密碼假設(shè)：抗碰撞哈希函數(shù)、橢圓曲線上的離散對(duì)數(shù)問題、指數(shù)知識(shí)。

• 透明 vs 可信設(shè)置。

• 證明者時(shí)間：線性 vs 超線性。

• 驗(yàn)證者時(shí)間：常數(shù)時(shí)間、對(duì)數(shù)、次線性、線性。

• 證明大小。

• 遞歸的便利性。

• 算術(shù)化方案。

• 一元 vs 多元多項(xiàng)式。

本文將探討 SNARKs 的起源、一些基本構(gòu)建模塊以及不同證明系統(tǒng)的興起（和衰落）。本文并不打算對(duì)證明系統(tǒng)進(jìn)行詳盡的分析。相反，我們專注于對(duì)我們當(dāng)前產(chǎn)生影響的那些。當(dāng)然，這些發(fā)展只有在這一領(lǐng)域的先驅(qū)們的偉大工作和思想的基礎(chǔ)上才得以實(shí)現(xiàn)。

基礎(chǔ)知識(shí)

正如我們所提到的，零知識(shí)證明并不是新鮮事物。定義、基礎(chǔ)、重要定理甚至重要協(xié)議都是從 20 世紀(jì) 80 年代中期確立的。一些用于構(gòu)建現(xiàn)代 SNARKs 的關(guān)鍵思想和協(xié)議是在 1990 年代提出的（sumcheck 協(xié)議），甚至在比特幣出現(xiàn)之前（2007 年的 GKR）。當(dāng)時(shí)采用的主要問題，主要是缺乏強(qiáng)大的用例（1990 年代互聯(lián)網(wǎng)發(fā)展不如今日）以及所需的計(jì)算能力有關(guān)。

零知識(shí)證明：起源（1985/1989）

零知識(shí)證明領(lǐng)域在學(xué)術(shù)文獻(xiàn)中首次出現(xiàn)是在 [Goldwasser, Micali and Rackoff](https://people.csail.mit.edu/silvio/Selected Scientific Papers/Proof Systems/The_Knowledge_Complexity_Of_Interactive_Proof_Systems.pdf?ref=blog.lambdaclass.com "Goldwasser, Micali and Rackoff") 的論文中。有關(guān)起源的討論，你可以參見以下視頻^[8] 。該論文引入了完備性、正確性和零知識(shí)的概念，并提供了二次剩余（quadratic residuosity）和二次非剩余（quadratic non-residuosity）的構(gòu)造。

Sumcheck 協(xié)議（1992）

sumcheck 協(xié)議^[9]是由 Lund, Fortnow, Karloff, and Nisan^[10] 于 1992 年提出的。它是簡潔交互證明的最重要的構(gòu)建模塊之一。它幫助我們將多元多項(xiàng)式的求值之和的聲明減少到在隨機(jī)選擇的點(diǎn)上的單個(gè)求值。

Goldwasser-Kalai-Rothblum（GKR）（2007）

GKR 協(xié)議^[11]是一種交互式協(xié)議，其證明者的運(yùn)行時(shí)間與電路的門數(shù)成線性關(guān)系，而驗(yàn)證者的運(yùn)行時(shí)間與電路的大小成次線性關(guān)系。在該協(xié)議中，證明者和驗(yàn)證者就深度為 d 的有限域上的扇形二通算術(shù)（an arithmetic circuit of fan-in-two）電路達(dá)成一致，其中層 d 對(duì)應(yīng)于輸入層，層 0 對(duì)應(yīng)于輸出層。協(xié)議從對(duì)電路輸出的聲明開始，將其減少為對(duì)前一層值的聲明。通過遞歸，我們可以將其轉(zhuǎn)換為對(duì)電路輸入的聲明，這可以輕松地進(jìn)行檢查。這些減少是通過 sumcheck 協(xié)議實(shí)現(xiàn)的。

KZG 多項(xiàng)式承諾方案 （2010）

KZG 多項(xiàng)式承諾方案 （KZG polynomial commitment scheme 簡稱 PCS ）Kate, Zaverucha, and Goldberg^[12]于 2010 年引入了使用雙線性配對(duì)群的多項(xiàng)式承諾方案。該承諾由單個(gè)群元素組成，提交者可以有效地打開對(duì)多項(xiàng)式的任何正確評(píng)估的承諾。此外，由于批處理技術(shù)，可以對(duì)多個(gè)評(píng)估進(jìn)行打開。KZG 承諾是 Pinocchio、Groth16 和 Plonk 等幾種高效 SNARKs 提供了基本構(gòu)建模塊。它也是 EIP-4844^[13] 的核心。有關(guān)批處理技術(shù)的直觀理解，你可以參見我們關(guān)于 Mina-Ethereum 橋^[14]的文章。

使用橢圓曲線的實(shí)用 SNARKs

2013 年出現(xiàn)了第一個(gè)實(shí)用的 SNARKs 構(gòu)造。這些構(gòu)造需要預(yù)處理步驟來生成證明和驗(yàn)證密鑰，并且是程序/電路特定的。這些密鑰可能相當(dāng)大，并且取決于應(yīng)保持未知的秘密參數(shù)；否則，它們可以偽造證明。將代碼轉(zhuǎn)換為可證明的內(nèi)容需要將代碼編譯成一系列多項(xiàng)式約束系統(tǒng)。起初，這必須以手動(dòng)編碼方式完成，這是耗時(shí)且容易出錯(cuò)的。該領(lǐng)域的進(jìn)展試圖消除一些主要問題：

1. 有更高效的證明者。

2. 減少預(yù)處理的數(shù)量。

3. 具有通用而不是特定電路的設(shè)置。

4. 避免信任設(shè)置。

5. 開發(fā)使用高級(jí)語言描述電路的方法，而不是手動(dòng)編寫多項(xiàng)式約束。

Pinocchio (2013)

Pinocchio^[15] 是第一個(gè)實(shí)用的、可用的 zk-SNARK。SNARK 基于二次算術(shù)程序（QAP）。證明大小最初為 288 字節(jié)。Pinocchio 的工具鏈提供了從 C 代碼到算術(shù)電路的編譯器，進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為 QAP。該協(xié)議要求驗(yàn)證者生成密鑰，這些密鑰是特定于電路的。它使用橢圓曲線配對(duì)來檢查方程。證明生成和密鑰設(shè)置的漸近性與計(jì)算大小成線性關(guān)系，驗(yàn)證時(shí)間與公共輸入和輸出的大小成線性關(guān)系。

Groth 16 (2016)

Groth^[16] 引入了一個(gè)具有增強(qiáng)性能的新知識(shí)論證^[17] ，用于描述 R1CS 的問題。它具有最小的證明大?。▋H三個(gè)群元素）和快速驗(yàn)證，涉及三個(gè)配對(duì)。它還涉及一個(gè)預(yù)處理步驟，以獲得結(jié)構(gòu)化參考字符串。其主要缺點(diǎn)是，它需要針對(duì)我們想要證明的每個(gè)程序進(jìn)行不同的信任設(shè)置，這很不方便。Groth16 被 ZCash 使用。

Bulletproofs & IPA (2016)

KZG PCS 的一個(gè)弱點(diǎn)是它需要一個(gè)信任設(shè)置。Bootle 等人^[18] 引入了滿足內(nèi)積關(guān)系的 Pedersen 承諾開局的有效零知識(shí)論證系統(tǒng)。內(nèi)積論證具有線性證明者，對(duì)數(shù)通信和交互，但具有線性時(shí)間驗(yàn)證。他們還開發(fā)了一個(gè)不需要信任設(shè)置的多項(xiàng)式承諾方案。使用這些想法的多項(xiàng)式承諾方案（PCS） 被 Halo 2 和 Kimchi 使用。

Sonic、Marlin 和 Plonk (2019)

Sonic^[19]、Plonk^[20] 和 Marlin^[21] 解決了 Groth16 中我們所遇到的每個(gè)程序都需要信任設(shè)置的問題，通過引入通用和可更新的結(jié)構(gòu)化參考字符串。Marlin 提供了基于 R1CS (Rank-1 Constraint System) 的證明系統(tǒng)，是 Aleo 的核心。

Plonk^[22] 引入了一種新的算術(shù)方案（后來稱為 Plonkish）和使用宏積（grand-product）檢查來檢查復(fù)制約束。Plonkish 還允許為某些操作引入專門的門，即所謂的定制門。幾個(gè)項(xiàng)目都有 Plonk 的定制版本，包括 Aztec、ZK-Sync、Polygon ZKEVM、Mina 的 Kimchi、Plonky2、Halo 2 和 Scroll 等。

Lookups (2018/2020)

Gabizon 和 Williamson 在 2020 年引入了 plookup^[23]，使用宏積檢查來證明一個(gè)值包含在預(yù)先計(jì)算的值表中。盡管查找參數(shù)先前在 Arya^[24] 中提出，但該構(gòu)造需要確定查找的多重性，這使得構(gòu)造不夠高效。PlonkUp^[25] 論文展示了如何將 plookup 參數(shù)引入 Plonk。這些查找參數(shù)的問題在于，它們迫使證明者為整個(gè)表支付費(fèi)用，而與他的查找次數(shù)無關(guān)。這意味著大型表的成本相當(dāng)大，人們已經(jīng)付出了大量努力來減少證明者僅支付他使用的查找次數(shù)的成本。Hab?ck 引入了 LogUp^[26]，它使用對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)將宏積（grand-product）檢查轉(zhuǎn)換為倒數(shù)的和。LogUp 對(duì)于 Polygon ZKEVM^[27] 中的性能至關(guān)重要，他們需要將整個(gè)表拆分為幾個(gè) STARK 模塊。這些模塊必須正確鏈接，跨表查找強(qiáng)制執(zhí)行這一點(diǎn)。引入 LogUp-GKR^[28] 使用 GKR 協(xié)議來提高 LogUp 的性能。Caulk^[29] 是第一個(gè)證明者時(shí)間與表大小亞線性的方案，使用預(yù)處理時(shí)間 O(NlogN) 和存儲(chǔ) O(N)，其中 N 是表大小。隨后出現(xiàn)了幾種其他方案，如 Baloo^[30]、flookup^[31]、cq^[32] 和 caulk+^[33]。Lasso^[34] 提出了幾項(xiàng)改進(jìn)，避免在表具有給定結(jié)構(gòu)時(shí)對(duì)其進(jìn)行提交。此外，Lasso 的證明者只為 lookup 操作訪問的表?xiàng)l目付費(fèi)。Jolt^[35] 利用 Lasso 通過 lookups 證明虛擬機(jī)的執(zhí)行情況。

Spartan (2019)

Spartan^[36] 為使用 R1CS 描述的電路提供了一個(gè) IOP ("Interactive Oracle Proof.")，利用多變量多項(xiàng)式的性質(zhì)和 sumcheck 協(xié)議。使用合適的多項(xiàng)式承諾方案，它產(chǎn)生了一個(gè)線性時(shí)間證明的透明 SNARK。

HyperPlonk (2022)

HyperPlonk^[37] 基于 Plonk 的思想，使用多變量多項(xiàng)式(multivariate polynomials)。它依賴于 sumcheck 協(xié)議而不是商來檢查約束的執(zhí)行。它還支持高次約束，而不會(huì)影響證明者的運(yùn)行時(shí)間。由于它依賴于多變量多項(xiàng)式，因此無需進(jìn)行 FFT，證明者的運(yùn)行時(shí)間與電路大小成線性關(guān)系。HyperPlonk 引入了一種適用于較小字段的新置換 IOP，以及一種基于 sumcheck 的批量打開協(xié)議，這減少了證明者的工作、證明大小和驗(yàn)證者的時(shí)間。

Folding schemes (2008/2021)

Nova^[38] 引入了折疊（Folding）方案的概念，這是一種實(shí)現(xiàn)增量可驗(yàn)證計(jì)算（IVC：incrementally verifiable computation）的新方法。IVC 的概念可以追溯到 Valiant^[39]，他展示了如何將長度為 k 的兩個(gè)證明合并為長度為 k 的單個(gè)證明。這個(gè)想法是，我們可以通過遞歸地證明從第 i 步到第 I +1 步的執(zhí)行是正確的，并驗(yàn)證一個(gè)證明，證明從第 i?1 步到第 i 步的轉(zhuǎn)換是正確的，來證明任何長時(shí)間運(yùn)行的計(jì)算。Nova 很好地處理統(tǒng)一計(jì)算；隨后它被擴(kuò)展以處理不同類型的電路，引入了 Supernova^[40]。Nova 使用 R1CS 的一種放松版本，并在友好的橢圓曲線上工作。使用曲線的友好循環(huán)（例如 Pasta 曲線）來實(shí)現(xiàn) IVC，也被用于 Pickles，Mina 的實(shí)現(xiàn)簡潔狀態(tài)的主要構(gòu)建塊。然而，折疊的概念與遞歸 SNARK 驗(yàn)證不同。

累加器的想法與批量證明的概念更深入地聯(lián)系在一起。Halo^[41] 引入了累加的概念作為遞歸證明組合的替代方案。Protostar^[42] 為 Plonk 提供了一種非統(tǒng)一的 IVC 方案，支持高次門和向量 lookups。

使用抗碰撞哈希函數(shù)

在 Pinocchio 開發(fā)的同時(shí)，有一些想法是生成電路/算術(shù)方案，可以證明虛擬機(jī)的執(zhí)行正確性。即使開發(fā)虛擬機(jī)的算術(shù)化可能比為一些程序編寫專用電路更復(fù)雜或不太高效，但它的優(yōu)勢在于可以通過展示在虛擬機(jī)中正確執(zhí)行程序來證明任何復(fù)雜的程序。TinyRAM 中的想法隨后通過 Cairo vm 的設(shè)計(jì)得到改進(jìn)，并且隨后的虛擬機(jī)（如 zk-evms 或通用目的 zkvms）也得到了改進(jìn)。使用抗碰撞哈希函數(shù)消除了對(duì)可信設(shè)置或橢圓曲線操作的需求，但代價(jià)是證明變得更長。

TinyRAM（2013）

在 SNARKs for C^[43] 中，他們開發(fā)了基于 PCP 的 SNARK，用于證明 C 程序的執(zhí)行正確性，該程序被編譯為 TinyRAM，即精簡指令集計(jì)算機(jī)。

備注：PCP， Probabilistically Checkable Proof 概率可檢查證明， 驗(yàn)證者只需閱讀證明中隨機(jī)選擇的一小部分內(nèi)容，就能以很高的置信度檢查證明的有效性。與驗(yàn)證者需要檢查整個(gè)證明的傳統(tǒng)證明系統(tǒng)不同，PCP 只需有限的隨機(jī)性即可實(shí)現(xiàn)高效驗(yàn)證。

該計(jì)算機(jī)采用哈佛結(jié)構(gòu)，具有字節(jié)級(jí)可尋址的隨機(jī)存儲(chǔ)器。利用非確定性，電路的大小與計(jì)算的大小幾乎成線性關(guān)系，可以高效處理任意和數(shù)據(jù)相關(guān)的循環(huán)、控制流和內(nèi)存訪問。

STARKs（2018）

STARKs^[44] 由 Ben Sasson 等人于 2018 年提出。它們實(shí)現(xiàn)了0（log^2 n）的證明大小，具有快速的證明者和驗(yàn)證者，不需要可信設(shè)置，并且被推測為后量子安全。它們首次被 Starkware/Starknet 使用，與 Cairo vm 一起。它的關(guān)鍵引入包括代數(shù)中間表示（AIR）和 FRI 協(xié)議^[45]（快速 Reed-Solomon 交互式 Oracle 接近證明 Fast Reed-Solomon Interactive Oracle Proof of Proximity ）。它也被其他項(xiàng)目使用（Polygon Miden、Risc0、Winterfell、Neptune），或者看到了一些組件的改編（ZK-Sync 的 Boojum、Plonky2、Starky）。

Ligero（2017）

Ligero^[46] 提出了一種證明系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了證明大小為 O(√n) ，其中 n 是電路的大小。它將多項(xiàng)式系數(shù)排列成矩陣形式，并使用線性碼。Brakedown^[47] 建立在 Ligero 的基礎(chǔ)上，引入了領(lǐng)域無關(guān)多項(xiàng)式承諾方案的概念。

一些新的發(fā)展

在生產(chǎn)中使用不同的證明系統(tǒng)展示了每種方法的優(yōu)點(diǎn)，并帶動(dòng)新的發(fā)展。例如，plonkish 算術(shù)化提供了一種簡單的方法來包含自定義門和lookup arguments；FRI 已經(jīng)顯示出作為 PCS 的出色性能，通向了 Plonky。同樣，在 AIR 中使用宏積檢查（帶來了預(yù)處理的隨機(jī)化 AIR）改進(jìn)了其性能并簡化了內(nèi)存訪問參數(shù)?；诠：瘮?shù)的承諾因其在硬件中的速度或新的適用于 SNARK 的哈希函數(shù)的引入而變得流行。

新的多項(xiàng)式承諾方案（2023）

隨著基于多變量多項(xiàng)式的高效 SNARKs 的出現(xiàn)，例如 Spartan 或 HyperPlonk，人們對(duì)適用于這種多項(xiàng)式的新承諾方案產(chǎn)生了更大的興趣。Binius^[48]、Zeromorph^[49] 和 Basefold^[50] 都提出了對(duì)多線性多項(xiàng)式進(jìn)行承諾的新形式。Binius 的優(yōu)勢在于表示數(shù)據(jù)類型時(shí)沒有額外開銷（而許多證明系統(tǒng)至少使用 32 位字段元素來表示單個(gè)位），并且可以在二進(jìn)制域上工作。該承諾方案采用了為領(lǐng)域無關(guān)而設(shè)計(jì)的 brakedown。Basefold 將 FRI 推廣到除 Reed-Solomon 之外的碼，帶來了一個(gè)領(lǐng)域無關(guān)的 PCS。

注 領(lǐng)域無關(guān)：在領(lǐng)域無關(guān)的多項(xiàng)式承諾方案中，承諾過程不依賴于任何特定領(lǐng)域的特定屬性。這意味著可以對(duì)任何代數(shù)結(jié)構(gòu)的多項(xiàng)式做出承諾，如有限域、橢圓曲線，甚至整數(shù)環(huán)。

可定制的約束系統(tǒng)（2023）

CCS^[51] 泛化了 R1CS，同時(shí)捕捉了 R1CS、Plonkish 和 AIR 算術(shù)化，沒有額外開銷。使用 CCS 與 Spartan IOP 結(jié)合產(chǎn)生了 SuperSpartan，它支持高維約束，而且證明者不需要承擔(dān)隨著約束度量增加而擴(kuò)展的加密成本。特別是，SuperSpartan 為 AIR 提供了一個(gè)線性時(shí)間證明的 SNARK。

結(jié)論

本文描述了自 20 世紀(jì) 80 年代中期以來 SNARKs 的進(jìn)展。計(jì)算機(jī)科學(xué)、數(shù)學(xué)和硬件的進(jìn)步，以及區(qū)塊鏈的引入，導(dǎo)致了新的更高效的 SNARKs 的出現(xiàn)，為許多可能改變我們社會(huì)的應(yīng)用打開了大門。研究人員和工程師根據(jù)他們的需求提出了對(duì) SNARKs 的改進(jìn)和適應(yīng)，關(guān)注證明大小、內(nèi)存使用、透明設(shè)置、后量子安全、證明時(shí)間和驗(yàn)證時(shí)間。雖然最初有兩條主要線路（SNARKs vs STARKs），但兩者之間的界限已經(jīng)開始消失，試圖結(jié)合不同證明系統(tǒng)的優(yōu)勢。例如，結(jié)合不同的算術(shù)化方案與新的多項(xiàng)式承諾方案。我們可以預(yù)期，新的證明系統(tǒng)將繼續(xù)涌現(xiàn)，性能將會(huì)提高，對(duì)于一些需要一些時(shí)間來適應(yīng)的系統(tǒng)來說，要跟上這些發(fā)展將會(huì)很困難，除非我們可以輕松地使用這些工具而無需改變一些核心基礎(chǔ)設(shè)施。

參考資料

[1]鏈接:https://blog.lambdaclass.com/our-highly-subjective-view-on-the-history-of-zero-knowledge-proofs/

[2]登鏈翻譯計(jì)劃:https://github.com/lbc-team/Pioneer

[3]翻譯小組:https://learnblockchain.cn/people/412

[4]Tiny 熊:https://learnblockchain.cn/people/15

[5]learnblockchain.cn/article…:https://learnblockchain.cn/article/7422

[6]文章:https://blog.lambdaclass.com/transforming-the-future-with-zero-knowledge-proofs-fully-homomorphic-encryption-and-new-distributed-systems-algorithms/

[7]加密證明的寒武紀(jì)爆發(fā):https://medium.com/starkware/cambrian-explosion-of-cryptographic-proofs-5740a41cdbd2?ref=blog.lambdaclass.com

[8]以下視頻:https://www.youtube.com/watch?v=uchjTIlPzFo&ref=blog.lambdaclass.com

[9]sumcheck 協(xié)議:https://blog.lambdaclass.com/have-you-checked-your-sums/

[10]Lund, Fortnow, Karloff, and Nisan:https://dl.acm.org/doi/pdf/10.1145/146585.146605?ref=blog.lambdaclass.com

[11]GKR 協(xié)議:https://www.microsoft.com/en-us/research/wp-content/uploads/2016/12/2008-DelegatingComputation.pdf?ref=blog.lambdaclass.com

[12]Kate, Zaverucha, and Goldberg:https://www.iacr.org/archive/asiacrypt2010/6477178/6477178.pdf?ref=blog.lambdaclass.com

[13]EIP-4844:https://github.com/ethereum/EIPs/blob/master/EIPS/eip-4844.md?ref=blog.lambdaclass.com

[14]Mina-Ethereum 橋:https://blog.lambdaclass.com/mina-to-ethereum-bridge/

[15]Pinocchio:https://eprint.iacr.org/2013/279?ref=blog.lambdaclass.com

[16]Groth:https://eprint.iacr.org/2016/260.pdf?ref=blog.lambdaclass.com

[17]具有增強(qiáng)性能的新知識(shí)論證:https://blog.lambdaclass.com/groth16/

[18]Bootle 等人:https://eprint.iacr.org/2016/263?ref=blog.lambdaclass.com

[19]Sonic:https://eprint.iacr.org/2019/099?ref=blog.lambdaclass.com

[20]Plonk:https://eprint.iacr.org/2019/953?ref=blog.lambdaclass.com

[21]Marlin:https://eprint.iacr.org/2019/1047?ref=blog.lambdaclass.com

[22]Plonk:https://blog.lambdaclass.com/all-you-wanted-to-know-about-plonk/

[23]plookup:https://eprint.iacr.org/2020/315?ref=blog.lambdaclass.com

[24]Arya:https://eprint.iacr.org/2018/380?ref=blog.lambdaclass.com

[25]PlonkUp:https://eprint.iacr.org/2022/086?ref=blog.lambdaclass.com

[26]LogUp:https://eprint.iacr.org/2022/1530?ref=blog.lambdaclass.com

[27]Polygon ZKEVM:https://toposware.medium.com/beyond-limits-pushing-the-boundaries-of-zk-evm-9dd0c5ec9fca?ref=blog.lambdaclass.com

[28]LogUp-GKR:https://eprint.iacr.org/2023/1284?ref=blog.lambdaclass.com

[29]Caulk:https://eprint.iacr.org/2022/621?ref=blog.lambdaclass.com

[30]Baloo:https://eprint.iacr.org/2022/1565?ref=blog.lambdaclass.com

[31]flookup:https://eprint.iacr.org/2022/1447?ref=blog.lambdaclass.com

[32]cq:https://eprint.iacr.org/2022/1763?ref=blog.lambdaclass.com

[33]caulk+:https://eprint.iacr.org/2022/957?ref=blog.lambdaclass.com

[34]Lasso:https://eprint.iacr.org/2023/1216?ref=blog.lambdaclass.com

[35]Jolt:https://eprint.iacr.org/2023/1217?ref=blog.lambdaclass.com

[36]Spartan:https://eprint.iacr.org/2019/550?ref=blog.lambdaclass.com

[37]HyperPlonk:https://eprint.iacr.org/2022/1355.pdf?ref=blog.lambdaclass.com

[38]Nova:https://eprint.iacr.org/2021/370?ref=blog.lambdaclass.com

[39]Valiant:https://https//iacr.org/archive/tcc2008/49480001/49480001.pdf?ref=blog.lambdaclass.com

[40]Supernova:https://eprint.iacr.org/2022/1758?ref=blog.lambdaclass.com

[41]Halo:https://eprint.iacr.org/2019/1021.pdf?ref=blog.lambdaclass.com

[42]Protostar:https://eprint.iacr.org/2023/620?ref=blog.lambdaclass.com

[43]SNARKs for C:https://eprint.iacr.org/2013/507?ref=blog.lambdaclass.com

[44]STARKs:https://eprint.iacr.org/2018/046?ref=blog.lambdaclass.com

[45]FRI 協(xié)議:https://blog.lambdaclass.com/how-to-code-fri-from-scratch/

[46]Ligero:https://eprint.iacr.org/2022/1608?ref=blog.lambdaclass.com

[47]Brakedown:https://eprint.iacr.org/2021/1043?ref=blog.lambdaclass.com

[48]Binius:https://blog.lambdaclass.com/snarks-on-binary-fields-binius/

[49]Zeromorph:https://eprint.iacr.org/2023/917?ref=blog.lambdaclass.com

[50]Basefold:https://blog.lambdaclass.com/how-does-basefold-polynomial-commitment-scheme-generalize-fri/

[51]CCS:https://eprint.iacr.org/2023/552?ref=blog.lambdaclass.com

[52]DeCert.me:https://decert.me/